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周期函數怎么判斷

回答
瑞文問答

2024-10-04

三角函數的周期根據公式:弦函數的2π/w,切函數的π/w(w為正);一般的函數根據定義來判斷,除了三角函數外,沒有給出解析式的函數是周期的函數。推知周期,常見的周期情況有f(x+T)=f(x),周期為T,f(x+a)=-f(x),周期為2a。

擴展資料

  周期函數的判定方法

  1、根據定義討論函數的周期性可知非零實數T在關系式f(X+T)= f(X)中是與X無關的,故討論時可通過解關于T的方程f(X+T)- f(X)=0,若能解出與X無關的非零常數T便可斷定函數f(X)是周期函數,若這樣的T不存在則f(X)為非周期函數。

  例:f(X)=cosx 是非周期函數。

  2、一般用反證法證明。(若f(X)是周期函數,推出矛盾,從而得出f(X)是非周期函數)。

  例:證f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函數。

  證:假設f(X)=ax+b是周期函數,則存在T(≠0),使true ,a(x+T)+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0,∴T=0與T≠0矛盾,∴f(X)是非周期函數。

  例:證f(X)= 是非周期函數。

  證:假設f(X)是周期函數,則必存在T(≠0)對 ,有(x+T)= f(X),當x=0時,f(X)=0,但x+T≠0,∴f(x+T)=1,∴f(x+T) ≠f(X)與f(x+T)= f(X)矛盾,∴f(X)是非周期函數。

  例:證f(X)=sinx2是非周期函數

  證:若f(X)= sinx2是周期函數,則存在T(>0),使之true,有sin(x+T)2=sinx2,取x=0有sinT2=sin0=0,∴T2=Kπ(K∈Z),又取X= T有sin(T+T)2=sin(T)2=sin2kπ=0,∴(+1)2

  T2=Lπ(L∈Z+),∴與3+2 是無理數矛盾,∴f(X)=sinx2是非周期函數。

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