周期函數(shù)的判定方法

　　1、根據(jù)定義討論函數(shù)的周期性可知非零實數(shù)T在關(guān)系式f(X T)= f(X)中是與X無關(guān)的，故討論時可通過解關(guān)于T的方程f(X T)- f(X)=0，若能解出與X無關(guān)的非零常數(shù)T便可斷定函數(shù)f(X)是周期函數(shù)，若這樣的T不存在則f(X)為非周期函數(shù)。

　　例：f(X)=cosx 是非周期函數(shù)。

　　2、一般用反證法證明。(若f(X)是周期函數(shù)，推出矛盾，從而得出f(X)是非周期函數(shù))。

　　例：證f(X)=ax b(a≠0)是非周期函數(shù)。

　　證：假設f(X)=ax b是周期函數(shù)，則存在T(≠0)，使true ，a(x T) b=ax b ax aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0與T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函數(shù)。

　　例：證f(X)= 是非周期函數(shù)。

　　證：假設f(X)是周期函數(shù)，則必存在T(≠0)對 ，有(x T)= f(X)，當x=0時，f(X)=0，但x T≠0，∴f(x T)=1，∴f(x T) ≠f(X)與f(x T)= f(X)矛盾，∴f(X)是非周期函數(shù)。

　　例：證f(X)=sinx2是非周期函數(shù)

　　證：若f(X)= sinx2是周期函數(shù)，則存在T(>0)，使之true，有sin(x T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ(K∈Z)，又取X= T有sin(T T)2=sin(T)2=sin2kπ=0，∴( 1)2

　　T2=Lπ(L∈Z )，∴與3 2 是無理數(shù)矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函數(shù)。