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求多項(xiàng)式有理根的步驟

回答
瑞文問答

2024-07-18

整系數(shù)方程anx^n a(n-1)x^(n-1) .... a2x2 a1x a0=0的有理根x=p/q。滿足:p能整除a0,q能整除an。要求整系數(shù)方程的有理根,只須把a(bǔ)n、a0分解質(zhì)因數(shù),然后找出所有的p/q,代入一一試驗(yàn),滿足的是根,不滿足的不是根。

擴(kuò)展資料

  多項(xiàng)式函數(shù)及其根

  給出多項(xiàng)式f∈R[x1,...,xn]以及一個(gè)R-代數(shù)A。對(duì)(a1,...,an)∈An,我們把f中的xj都換成aj,得出一個(gè)A中的元素,記作f(a1...an)。如此,f可看作一個(gè)由An到A的函數(shù)。

  若然f(a1...an)=0,則(a1...an)稱作f的根或零點(diǎn)。

  例如f=x^2 1。若然考慮x是實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、或矩陣,則f會(huì)無根、有兩個(gè)根、及有無限個(gè)根!

  例如f=x-y。若然考慮x是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù),則f的零點(diǎn)集是所有(x,x)的集合,是一個(gè)代數(shù)曲線。事實(shí)上所有代數(shù)曲線由此而來。

  另外,若所有系數(shù)為實(shí)數(shù)多項(xiàng)式P(x)有復(fù)數(shù)根Z,則Z的共軌復(fù)數(shù)也是根。

  若P(x)有n個(gè)重疊的根,則P‘(x)有n-1個(gè)重疊根。即若P(x)=(x-a)^nQ(x),則有a是P’(x)的重疊根且有n-1個(gè)。

  有理根定理應(yīng)用

  為了確定一個(gè)多項(xiàng)式是否有任何有理根,使用該定理,如果是這樣就可以找出它們。 由于定理給出了完全減少的有理根的分子和分母作為某些數(shù)的除數(shù)的約束,所以可以檢查除數(shù)的所有可能的組合,或者找出合理的根,或者確定沒有一個(gè)。 如果找到一個(gè)或多個(gè),則可以將它們從多項(xiàng)式中分解出來,導(dǎo)致較低程度的多項(xiàng)式,其根也是原始多項(xiàng)式的根。

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  多項(xiàng)式函數(shù)及其根

  給出多項(xiàng)式f∈R[x1,...,xn]以及一個(gè)R-代數(shù)A。對(duì)(a1,...,an)∈An,我們把f中的xj都換成aj,得出一個(gè)A中的元素,記作f(a1...an)。如此,f可看作一個(gè)由An到A的函數(shù)。

  若然f(a1...an)=0,則(a1...an)稱作f的根或零點(diǎn)。

  例如f=x^2 1。若然考慮x是實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、或矩陣,則f會(huì)無根、有兩個(gè)根、及有無限個(gè)根!

  例如f=x-y。若然考慮x是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù),則f的零點(diǎn)集是所有(x,x)的集合,是一個(gè)代數(shù)曲線。事實(shí)上所有代數(shù)曲線由此而來。

  另外,若所有系數(shù)為實(shí)數(shù)多項(xiàng)式P(x)有復(fù)數(shù)根Z,則Z的共軌復(fù)數(shù)也是根。

  若P(x)有n個(gè)重疊的根,則P‘(x)有n-1個(gè)重疊根。即若P(x)=(x-a)^nQ(x),則有a是P’(x)的重疊根且有n-1個(gè)。

  有理根定理應(yīng)用

  為了確定一個(gè)多項(xiàng)式是否有任何有理根,使用該定理,如果是這樣就可以找出它們。 由于定理給出了完全減少的有理根的分子和分母作為某些數(shù)的除數(shù)的約束,所以可以檢查除數(shù)的所有可能的組合,或者找出合理的根,或者確定沒有一個(gè)。 如果找到一個(gè)或多個(gè),則可以將它們從多項(xiàng)式中分解出來,導(dǎo)致較低程度的多項(xiàng)式,其根也是原始多項(xiàng)式的根。